Решение системы 2 порядка. Определитель второго порядка

Большинство реальных систем нелинейны, т.е. поведение системы описывается уравнениями:

Часто на практике нелинейные системы можно аппроксимировать линейной в некоторой ограниченной области.

Предположим, что
для уравнения (1) известно. Заменим систему (1,2) подставив начальные условия

Предполагаем, что начальные состояния и входная переменная изменены так, что новое состояние и входная переменная имеет следующий вид.

Выход
найдем в результате решения возмущенных уравнений.

Разложим правую часть в ряд Тейлора.

-остаточный член погрешности второго порядка малости.

Вычитая исходное решение из разложений, получаем следующие линеаризованные уравнения:

.

Частные производные обозначим как коэффициенты зависящие от времени

Эти выражения можно переписать в виде

Получим линеаризованные уравнения в точках равновесия
.

. В точке

Решение этого уравнения

Продифференцируем правую часть исходного уравнения по x , получим

.

Выполним линеаризацию уравнения для произвольного начального значения
.

Получаем линеаризованную систему в виде нестационарного уравнения

Решение линеаризованной системы имеет вид:

.

1.7. Типовые возмущающие воздействия

Внешние возмущающие воздействия могут иметь различный характер:

мгновенного действия виде импульса и постоянного действия.

Если продифференцировать во времени
, то
, следовательно(t)- функция представляет собой производную во времени единичного ступенчатого воздействия.

(t)- функция при интегрировании обладает следующими фильтрующими свойствами:

Интегрируемое произведение произвольной функции
и(t)- функции отфильтровывает из всех значений
только то, которое соответствует моменту приложение мгновенного единичного импульса.

2 U. Системы второго порядка

2.1.Приведение уравнений второго порядка к системам уравнений первого порядка

Пример линейной стационарной системы.

Другое описание этой же системы второго порядка дается парой связанных дифференциальных уравнений первого порядка

(2)

где связь между коэффициентами этих уравнений определяется следующими соотношениями

2.2. Решение уравнений второго порядка

Применяя дифференциальный оператор
уравнение можно представить в более компактном виде

Решается уравнение (1) в 3 этапа:

1) находим общее решение однородного уравнения;

2) находим частное решение ;

3) полное решение есть сумма этих двух решений
.

Рассматриваем однородное уравнение

будем искать решение в форме

(5)

где
действительная или комплексная величина. При подстановке (5) в (4) получаем

(6)

Это выражение является решением однородного уравнения, если s удовлетворяет характеристическому уравнению

При s 1  s 2 решение однородного уравнения имеет вид

Тогда ищем решение в виде
и подставляя его в исходное уравнение

Откуда следует, что
.

Если выбрать

. (8)

Частное решение исходного уравнения (1) ищем методом вариации
в форме

исходя из (11), (13) получаем систему

Полное решение уравнения.

Заменой переменных получим уравнение второго порядка:

ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ

Двумерным пространственным состоянием или фазовой плоскостью называется плоскость, в которой две переменные состояния рассматриваются в прямоугольной системе координат

- эти переменные состояния образуют вектор
.

График изменения
образует траекторию движения. Необходимо указать направление движения траектории.

Состояние равновесия называется такое состояние , в котором система остается при условии, что
Состояние равновесия можно определить (если оно существует) из соотношений

при любом t .

Состояния равновесия иногда называются критическими, основными или нулевыми точками.

Траектории системы не могут пересекаться друг с другом в пространстве, что вытекает и единственности решения дифференциального уравнения.

Ни одна траектория не проходит через состояние равновесия хотя и могут сколь угодно близко приближаться к особым точкам (при
) .

Типы точек

1 Регулярная точка есть любая точка, через которую может проходить траектория, точка равновесия не является регулярной.

2.Точка равновесия изолирована, если в ее малой окрестности содержатся только регулярные точки.

Рассмотрим систему

Для определения состояния равновесия решим следующую систему уравнений

.

Получаем зависимость между переменными состояния
.

любая точка которой есть состояние равновесия. Эти точки не является изолированными.

Заметим, что для линейной стационарной системы

начальное состояние оказывается состоянием равновесия и изолированным, если детерминант матрицы коэффициентов
, тогда
есть состояние равновесия.

Для нелинейной системы второго порядка состояние равновесия называется простым , если соответствующая матрица Якоби не равна 0.

В противном случае состояние не будет простым. Если точка равновесия является простой, то она изолирована. Обратное утверждение не обязательно верно (за исключением случая линейных стационарных систем) .

Рассмотрим решение уравнения состояния для линейной системи второго порядка:
.

Эту систему можно представить двумя уравнениями первого порядка,

обозначим
,

Характеристическое уравнение
и решение будет следующим:

Решение уравнения записывается в виде

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Здесь мы применим метод вариации постоянных Лагранжа для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка. Подробное описание этого метода для решения уравнений произвольного порядка изложено на странице
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа >>> .

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Лагранжа:
(1)

Решение

Вначале мы решаем однородное дифференциальное уравнение:
(2)

Это уравнение второго порядка.

Решаем квадратное уравнение :
.
Корни кратные: . Фундаментальная система решений уравнения (2) имеет вид:
(3) .
Отсюда получаем общее решение однородного уравнения (2):
(4) .

Варьируем постоянные C 1 и C 2 . То есть заменим в (4) постоянные и на функции:
.
Ищем решение исходного уравнения (1) в виде:
(5) .

Находим производную :
.
Свяжем функции и уравнением:
(6) .
Тогда
.

Находим вторую производную:
.
Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;



.
Поскольку и удовлетворяют однородному уравнению (2), то сумма членов в каждом столбце последних трех строк дает нуль и предыдущее уравнение приобретает вид:
(7) .
Здесь .

Вместе с уравнением (6) мы получаем систему уравнений для определения функций и :
(6) :
(7) .

Решение системы уравнений

Решаем систему уравнений (6-7). Выпишем выражения для функций и :
.
Находим их производные :
;
.

Решаем систему уравнений (6-7) методом Крамера. Вычисляем определитель матрицы системы:

.
По формулам Крамера находим:
;
.

Итак, мы нашли производные функций:
;
.
Интегрируем (см. Методы интегрирования корней). Делаем подстановку
; ; ; .

.
.

;
.

Ответ

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение методом вариации постоянных Лагранжа:
(8)

Решение

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Решаем однородное дифференциальное уравнение:

(9)
Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:

Это уравнение имеет комплексные корни:
.
Фундаментальная система решений, соответствующая этим корням, имеет вид:
(10) .
Общее решение однородного уравнения (9):
(11) .

Шаг 2. Вариация постоянных - замена постоянных функциями

Теперь варьируем постоянные C 1 и C 2 . То есть заменим в (11) постоянные на функции:
.
Ищем решение исходного уравнения (8) в виде:
(12) .

Далее ход решения получается таким же, как в примере 1. Мы приходим к следующей системе уравнений для определения функций и :
(13) :
(14) .
Здесь .

Решение системы уравнений

Решаем эту систему. Выпишем выражения функций и :
.
Из таблицы производных находим:
;
.

Решаем систему уравнений (13-14) методом Крамера. Определитель матрицы системы:

.
По формулам Крамера находим:
;
.

.
Поскольку , то знак модуля под знаком логарифма можно опустить. Умножим числитель и знаменатель на :
.
Тогда
.

Общее решение исходного уравнения:


.

Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел а 1 , а 2 , b 1 , b 2:

Число а 1 b 2 - а 2 b 1 называется определителем второго порядка, соответствующим таблице (1). Этот опредеяитель обозначается символом соответственно имеем:

Числа а 1 , а 2 , b 1 , b 2 называются элементами определителя. Говорят, что элементы а 1 , b 2 лежат на главной диагонали определителя, а 2 , b 1 - на побочной. Таким образом, определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях. Например,

Рассмотрим систему двух уравнений

с двумя неизвестными х, у. (Коэффициенты а 1 , b 1 , а 2 , b 2 и свободные члены hXi h2 предположим данными.) Введем обозначения

Определитель Δ, составленный из коэффициентов при неизвестных системы (3), называется определителем этой системы. Определитель Δ x получается путем замены элементов первого столбца определителя Δ свободными членами системы (3); определитель Δ y получается из определителя Δ при помощи замены свободными членами системы (3) элементов его второго столбца.

Если Δ ≠ 0, то система (3) имеет единственное решение; оно определяется формулами

x = Δ x /Δ , y = Δ y /Δ (5)

Если Δ = 0 и при этом хотя бы один из определителей Δ x , Δ y отличен от нуля, то система (3) совсем не имеет решений (как говорят, уравнения этой системы несовместимы).

Если же Δ = 0, но также Δ x = Δ y = 0, то система (3) имеет бесконечно много решений (в этом случае одно из уравнений системы есть следствие другого).

Пусть в уравнениях системы (3)h 1 = h 2 = 0; тогда система (3) будет иметь вид:

a 1 x + b 1 y = 0, a 2 x + b 2 y = 0. (6)

Система уравнений вида (6) называется однородной; она всегда имеет нулевое решение: x= 0, у = 0. Если Δ ≠ О, то это решение является единственным если же Δ = 0, то система (6), кроме нулевого, имеет бесконечно много других решений.

1204. Вычислить определители:

1205. Решить уравнения:

1206. Решить неравенства:

1207. Найти все решения каждой из следующих систем уравнений:

1208. Определить, при каких значениях а и b система уравнений Зх - ау = 1, 6х + 4у = b 1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет бесконечно много решений.

1209. Определить, при каком значении а система однородных уравнений 13x + 2у = 0, 5x + ау = 0 имеет ненулевое решение.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид .

Определение. Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция , которая при любых значениях и является решением этого уравнения.

Определение. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение . Если коэффициенты и постоянны, т.е. не зависят от , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: .

Уравнение будем называть линейным неоднородным уравнением.

Определение. Уравнение , которое получается из линейного однородного уравнения заменой функции единицей, а и - соответствующими степенями , называется характеристическим уравнением.

Известно, что квадратное уравнение имеет решение, зависящее от дискриминанта : , т.е. если , то корни и - действительные различные числа. Если , то . Если же , т.е. , то будет мнимым числом, а корни и - комплексными числами. В этом случае условимся обозначать .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Дискриминант этого квадратного уравнения , поэтому .

Покажем, как по виду корней характеристического уравнения найти общее решение однородного линейного уравнения второго порядка.

Если - действительные корни характеристического уравнения, то .

Если корни характеристического уравнения одинаковы, т.е. , то общее решение дифференциального уравнения ищут по формуле или .

Если же характеристическое уравнение имеет комплексные корни , то .

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: . Его корни , действительны и различны. Поэтому общее решение .

Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения решений линейного однородного дифференциального уравнения . В этом разделе мы докажем, что базисом линейного пространства частных решений однородного уравнения может служить любой набор из n его линейно независимых решений.
Опр. 14.5.5.1. фундаментальной системы решений . Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка называется любая линейно независимая система y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) его n частных решений.
Теорема 14.5.5.1.1 о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения . Общее решение y (x ) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:
y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ).
Док-во . Пусть y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение y чо (x ) этого уравнения содержится в формуле y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) при некотором наборе постоянных C 1 , C 2 , …, C n . Возьмём любую точку , вычислим в этой точке числа и найдём постоянные C 1 , C 2 , …, C n как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений
Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен . Рассмотрим линейную комбинацию y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C 1 , C 2 , …, C n и сравним её с функцией y чо (x ). Функции y (x ) и y чо (x ) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x 0 , следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: y чо (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + … + C n y n (x ). Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n . Осталось доказать, что эта размерность не меньше n .
Теорема 14.5.5.1.2 о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального равнения. Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений.
Док-во . Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю